La province de Kai (甲斐国; Kai no kuni) est une ancienne province du Japon qui correspond à l'actuelle préfecture de Yamanashi. Elle se situe dans le centre de Honshū, à l'ouest de Tōkyō, dans une région montagneuse sans littoral qui inclut le Mont Fuji le long de sa frontière avec la préfecture de Shizuoka. La province a également porté le nom de Kōshū (甲州). Divisée en deux parties (Kuninaka à l'ouest et Gunnai à l'est), elle est réputée pour ses tissus et ses chevaux noirs (kurokoma).

Selon les légendes, c'est dans cette province que serait entré au IIe siècle Yamato-Takeru no Mikoto, venant de l'est.

La province est le fief traditionnel du Clan Takeda depuis la fin de l'ère Heian, et durant la période Sengoku, le daimyō Shingen Takeda la dirigeait depuis sa forteresse de Kōfu. Parmi les clans présente dans cette province, on retrouve aussi le Clan Anayama.

Elle passa sous le contrôle des Tokugawa après l'anéantissement des Takeda à la bataille de Nagashino.

Elle fut renommée Kōfu-ken en 1869 avant de prendre son nom actuel en 1871.

La province abritait des mines d'or, très peu nombreuses au Japon.